一般相対論と通信路符号化定理

2つの地点にある時計の同期を問題にしたアインシュタインの有名な「時計合わせの思考実験」は
・観測者が時刻を記憶しておくメモリを持っている
・観測者間で時刻情報をやりとりする通信手段を持っている
を暗黙に仮定している．この隠れた前提条件を少しだけ変更して，もし観測者が時刻を記憶するメモリは持っておらず通信手段だけを持っていた場合，どのような時計合わせのプロトコルが考えられるだろうか．

１. アインシュタインの時計合わせの思考実験

１−１. 2つの地点にある時計の同期を確認する方法

1905年に発表された特殊相対性理論の代表的な論文1A. Einstein, “On the electrodynamics of moving bodies”(English translation), Annalen der Physik 17, 891 (1905)の中で，アインシュタインは，空間的に離れた2つの時計を光信号をやり取りすることで同期させるという思考実験を考えた．時計aを持つ観測者A（Alice）が時計bを持つ観測者B（Bob）と通信を行い，2つの時計が同期していることを確認する．よく知られているように2つの時計が同期しているためには，次の条件を満たせばよい．

(1)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle \frac{t_{A 0} + t_{A 1}}{2} = t_{B 0} \\\end{eqnarray*}

最初の光信号は，時計aが示す時刻t_{A 0}にAliceから発信され，時計bが示す時刻t_{B 0}に他の観測者B（Bob）に到達する．その後，BobはAliceに向けて光信号を送り返し，Aliceは時刻t_{A 1}にBobからの光信号を受け取る．

ここでそれぞれの観測者は，2つの時計の同期基準(1)を計算するために必要なデータt_{A 0}, t_{B 0}, t_{A 1}のうち，不足しているデータ2Aliceにとってはt_{B 0}, Bobにとってはt_{A 0}, t_{A 1}が不足データになるをなんらかの通信手段によって相手に伝えないかぎり時計の同期を確認することができない．時計の同期基準(1)を計算するには以下のプロトコルのうち，どちらかを実行する必要がある．
①AliceとBobが実験終了後にどこかに集まり不足データを伝えあって同期基準(1)を確認する．
②BobからAliceに向けて光信号を送る際に，時刻t_{B 0}の情報を光信号に載せ，不足データをAliceに伝える．
①の場合，観測者間の距離が光年単位で離れているようなときには観測者の物理的な移動に時間がかかり，現実的な実験プロトコルではなくなってしまう．そこで②を採用して，BobからAliceに向けて時刻t_{B 0}の情報を光信号に載せて通信する場合を考えよう．

１−２. 情報伝送速度

②を選択する場合，情報の伝送には必ず有限の時間がかかることに注意しなければならない（通信路符号化定理）．時刻t_{B 0}の情報を送信する際，単位時間当たりの情報伝送速度Rは必ず通信路容量Cを下回る必要があり，情報は一瞬では送信できないことが導かれる．

(2)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle R < C \\\end{eqnarray*}

ここから，Aliceから信号を受け取るとBobはただちに信号を返すことができる，と仮定していたオリジナルの思考実験を修正する必要が生じてくる．この議論は，結局，ローレンツ変換の修正に帰着する．こうした議論が細谷暁夫と藤井俊介らの論文3Akio Hosoya and Shunsuke Fujii, “Informational Theory of Relativity”, Progress of Theoretical and Experimental Physics, Volume 2018, Issue 11, November 2018, 113E02で展開された．

nビットの情報通信にかかる時間遅れの効果により，Aliceが光信号を受け取る時刻t^{\prime}_{A 1}は時刻t_{A 0}から

(3)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle t^{\prime}_{A 1} = t_{A 1} + r(x)\tau \\\end{eqnarray*}

のように補正される（ここで\tau := n\tau_{0}はnビットのメッセージを送信するためにかかる時間長，\tau_{0}は1ビットのメッセージを送信するためにかかる時間長とする）．ここで情報圧縮率r(x)と情報伝送速度Rは次の関係になっている．

(4)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle &r(x) = \frac{-\log p(x)}{n} \\ & \displaystyle &R = \frac{S}{n} = \frac{\left< -\log p(x) \right>}{n} \end{eqnarray*}

ただし，S := \sum_{x} -p(x)\log p(x) = \left< -\log p(x) \right>．つまり，Aliceが光信号を受け取る時刻t^{\prime}_{A 1}は確率的に揺らでいる．

ここから冒頭にあらわれた(1)式は次のように書き直される．

(5)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle \frac{t_{A 1}+t_{A 0}}{2}=\frac{t_{A 1}^{\prime} - r(x)\tau + t_{A 0}}{2}=t_{B 0} \\\end{eqnarray*}

またAliceの持つ時計とBobの持つ時計が同期していた場合，観測値t^{\prime}_{A 1}, t_{B 0}と空間座標xの関係は

(6)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle x = c\left(t_{A 1}^{\prime} - r(x)\tau - t_{B 0}\right) \\\end{eqnarray*}

となる．ここでさらに時間長\tauを定数と仮定すると

(7)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle dx = c\left(dt - \tau dr\right) \\\end{eqnarray*}

の関係が導かれる．よく知られているように，drの線素（の期待値）を考えると

(8)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle \left< dr^{2} \right> = \sum_{x} p(x)dr^{2} = \sum_{x} \frac{p(x)}{n^{2}} \left(d\log{p}\right)^{2} = \frac{1}{n^{2}} g_{\mu\nu}(x) dx^{\mu}dx^{\nu} \\\end{eqnarray*}

が成り立ち，drのパラメーター（この場合は空間座標dx）にかかる係数としてフィッシャー計量 g_{\mu\nu}(x) := \left< \frac{\partial \log{p}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial \log{p}}{\partial x^{\nu}} \right> があらわれる．

このように本稿では，原論文とは異なり，情報符号化定理の観点から情報圧縮率r(x)を導入してみた．筆者には，むしろこちらの形式の方が相対論に確率や情報幾何的側面を自然に付与できるように思われる．

  • 1
    A. Einstein, “On the electrodynamics of moving bodies”(English translation), Annalen der Physik 17, 891 (1905)
  • 2
    Aliceにとってはt_{B 0}, Bobにとってはt_{A 0}, t_{A 1}が不足データになる
  • 3
    Akio Hosoya and Shunsuke Fujii, “Informational Theory of Relativity”, Progress of Theoretical and Experimental Physics, Volume 2018, Issue 11, November 2018, 113E02

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