ツイスター空間

光円錐上の任意の一点を指定すると，その一点（厳密には光線）に対応するツイスター空間上の一点が決まる．そうしたことを，今年ノーベル賞を受賞したロジャー・ペンローズ卿が考えた．

１. スピノルと四脚場

１−１. 座標と計量

時空の線素を次の式で定義する．

(1)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle ds^{2} = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} \end{eqnarray*}

アインシュタインの等価原理によれば，この計量 g_{\mu\nu}(x) によって記述される時空多様体の接空間は，特殊相対論が成り立つミンコフスキー時空である．この平らなミンコフスキー時空の計量を \eta_{\mu\nu} と書き，一般のD次元時空を念頭に

(2)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix} = \mathrm{diag}(-+ \cdots +)\end{eqnarray*}

と書くことにする．

１−２. 接続と捩率

次に，共変ベクトル A_{\nu}(x) および反変ベクトル A^{\nu}(x) の平行移動を次の式で書くことにする．

(3)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle A_{\mu}(x+dx \| x) = A_{\mu}(x) - \Gamma^{\lambda\ \ }_{\ \mu\nu}(x)A_{\lambda}(x)dx^{\nu} \\ & \displaystyle A^{\mu}(x+dx \| x) = A^{\mu}(x) + \Gamma^{\mu\ \ }_{\ \lambda\nu}(x)A^{\lambda}(x)dx^{\nu} \end{eqnarray*}

ここから，その共変微分が導かれる．

(4)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle \nabla_{\nu}A_{\mu} = \partial_{\nu}A_{\mu}-\Gamma^{\lambda\ \ }_{\ \mu\nu}A_{\lambda} \\& \displaystyle \nabla_{\nu}A^{\mu} = \partial_{\nu}A^{\mu}+\Gamma^{\mu\ \ }_{\ \lambda\nu}A^{\lambda}\end{eqnarray*}

このとき，計量の共変発散について

(5)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \nabla_{\lambda}g_{\mu\nu} = \partial_{\lambda}g_{\mu\nu}-\Gamma^{\rho\ \ }_{\ \nu\lambda}g_{\rho\mu}-\Gamma^{\rho\ \ }_{\ \mu\lambda}g_{\nu\rho}=0 \end{eqnarray*}

を要請する．これを計量条件と呼ぶ．時空に計量条件を課す（＝リーマン時空）ことにより，アインシュタイン方程式 G_{\mu\nu} = \chi^{2} T_{\mu\nu} の右辺にあるエネルギー・運動量テンソル T_{\mu\nu} が保存量になることが導かれる．さらにここでアファイン接続 \Gamma^{\rho\ \ }_{\ \mu\nu} に関する対称化，反対称化の記号を

(6)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \Gamma^{\rho\ \ }_{\ (\mu\nu)} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^{\rho\ \ }_{\ \mu\nu}+\Gamma^{\rho\ \ }_{\ \nu\mu}\right) \\& \displaystyle \Gamma^{\rho\ \ }_{\ [\mu\nu]} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^{\rho\ }_{\ \mu\nu}-\Gamma^{\rho\ \ }_{\ \nu\mu}\right) \end{eqnarray*}

とすると，これを使って捩率を次のように定義することができる．

(7)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle C^{\rho\ \ \ }_{\ ,\mu\nu} = -C^{\rho\ \ \ }_{\ ,\nu\mu}=2\Gamma^{\rho\ \ }_{\ [\mu\nu]} \end{eqnarray*}

捩率が 0 でないときは，その時空上ではベクトルの平行移動によって平行四辺形が作れないことを意味する．

１−３. 四脚場表示

曲率と捩率が共存するとき，アインシュタインテンソル G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R の共変発散をとると

(8)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \nabla_{\mu}G^{\mu\nu} = -\left(\frac{1}{2}R^{\ \ \ \ \nu}_{\lambda\sigma,\rho}+\delta^{\nu}_{\lambda}R_{\sigma\rho}\right)C^{\rho,\nu\sigma} \end{eqnarray*}

となって一般には 0 にならない．このままでは，アインシュタイン方程式 G_{\mu\nu} = \chi^{2} T_{\mu\nu} の右辺にあるエネルギー・運動量テンソル T_{\mu\nu} が非保存量となってしまい具合が悪い．そこで，このような時空（＝リーマン・カルタン時空）上でのアインシュタイン方程式を考えるため，四脚場 b^{i\ }_{\ \mu} を導入する．

(9)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \eta_{ij} = b_{i \mu}b^{\ \mu}_{j\ } = g_{\mu\nu}b^{\ \mu}_{i\ }b^{\ \nu}_{j\ } \\ & \displaystyle g_{\mu\nu} = b^{i\ }_{\ \mu}b_{i\nu} = \eta_{ij}b^{i\ }_{\ \mu}b^{j\ }_{\ \nu} \\ & \displaystyle \delta^{\mu}_{\lambda} = g^{\mu\nu}g_{\nu\lambda} = b^{\ \mu}_{\nu\ }b^{\nu\ }_{\ \lambda} \end{eqnarray*}

四脚場は，計量テンソルの平方根とみなせる．

(10)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle g = \mathrm{det}\left(g_{\mu\nu}\right), \ b = \mathrm{det}\left(b^{i\ }_{\ \mu}\right) \\ & \displaystyle \sqrt{-g} = b \end{eqnarray*}

また，四脚場は，局所ローレンツ変換に対しては反変ベクトルとして変換され，一般座標変換に対しては共変ベクトルとして変換される量である．これは物理的には，時空の各点における接空間（＝局所ローレンツ系）において定義されるスピノル場と，曲がった時空（＝一般座標系）を結びつける役割を果たす．この四脚場を使って，物質場がスピノル場を含む場合のアインシュタイン方程式を導出しよう．まず，物質場にスピノル場を含む場合の全ラグランジアン \mathcal{L} を次式で与える．

(11)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \mathcal{L} = \mathcal{L}_{G} + \mathcal{L}_{m} = \boxed{b\frac{1}{2}R} + \boxed{bL_{m}} \end{eqnarray*}

このとき全ラグランジアンに対する四脚場のオイラー微分は

(12)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta b^{\ \mu}_{k\ }} = b\left(G^{k\ }_{\ \mu} - T^{k\ }_{\ \mu}\right) = \boxed{b\left(R^{k\ }_{\ \mu}-\frac{1}{2}b^{k\ }_{\ \mu}R\right)} - \boxed{bT^{k\ }_{\ \mu}} = 0 \end{eqnarray*}

となるので，捩率が存在する場合に一般化されたアインシュタイン方程式は次のようになることがわかる．

(13)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle G_{\mu\nu} = \chi^{2} T_{\mu\nu} \end{eqnarray*}

四脚場 b_{k\mu} は，局所ローレンツ系における平行移動にも，一般座標系における平行移動にも，それぞれ共変ベクトルのように振る舞う。四脚場のこの性質に注目して，それぞれの座標変換にかかる四脚場の不変性を要請する新しい共変微分（＝全共変微分） \mathcal{D}_{\mu} を以下で定義する．

(14)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \mathcal{D}_{\mu}b_{k\nu} = \partial_{\mu}b_{k\nu} + \omega_{kj,\mu}b^{j\ }_{\ \nu} - \Gamma^{\lambda\ \ }_{\ \nu\mu}b_{k\lambda} \\ & \displaystyle \hspace{-15pt} = D_{\mu}b_{k\nu} - \Gamma^{\lambda\ \ }_{\ \nu\mu}b_{k\lambda}\end{eqnarray*}

このとき，計量の共変発散が 0 となる（ように，スピン接続 \omega_{kj,\mu} を定める）．

(15)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \mathcal{D}_{\rho}g_{\mu\nu} = \left(\mathcal{D}_{\rho}b^{\ \ }_{k\mu}\right)b^{k\ }_{\ \nu} + b_{k\mu}\left(\mathcal{D}_{\rho}b^{k\ }_{\ \nu}\right) \\ & \displaystyle \mathcal{D}_{\rho}b_{k\mu} = \mathcal{D}_{\rho}b^{k\ }_{\ \nu} = 0\end{eqnarray*}

このように全共変微分を定めると，アインシュタインテンソルの共変発散について次が導かれる．

(16)   \begin{eqnarray*} & \displaystyle \mathcal{D}_{k}G^{k\ }_{\ \mu} = \mathcal{D}_{k}\left(R^{k\ }_{\ \mu}-\frac{1}{2}b^{k\ }_{\ \mu}R\right) \\ & \displaystyle \hspace{98pt} = b^{\ \nu}_{j\ }\mathcal{D}_{k}R^{kj\ \ }_{\ ,\mu\nu} - \frac{1}{2}b^{k\ }_{\ \mu}b^{\ \mu^{\prime}}_{k^{\prime}\ }b^{\ \nu}_{j\ }\mathcal{D}_{k}R^{k^{\prime}j\ \ }_{\ ,\mu^{\prime}\nu} \\ & \displaystyle \hspace{105pt} = b^{\ \nu}_{j\ }\mathcal{D}_{k}R^{kj\ \ }_{\ ,\mu\nu} - \delta^{k}_{k^{\prime}}\delta^{\mu^{\prime}}_{\mu}b^{\ \nu}_{j\ }\mathcal{D}_{k}R^{k^{\prime}j\ \ }_{\ ,\mu^{\prime}\nu} = 0 \end{eqnarray*}

１−４. ツイスター空間

局所ミンコフスキー時空上のローレンツ座標を局所ローレンツ座標と呼ぶ．四脚場には，時空の座標 x^{\mu} と局所ローレンツ座標 X^{i} を結びつける働きがある．

(17)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle b_{\ \mu}^{i\ } = \frac{\partial X^{i}}{\partial x^{\mu}} ,\ b_{i\ }^{\ \mu} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial X^{i}}& \end{eqnarray*}

ここで局所ミンコフスキー時空上のヌル測地線とヌル直線を

(18)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle \eta_{ij}P^{i}P^{j} = g_{\mu\nu}b^{\ \mu}_{i\ }b^{\ \nu}_{j\ } P^{i}P^{j} = g_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu} = 0 \\ & X^{i} - W^{i} + t P^{i} = b_{\ \mu}^{i\ } \left( x^{\mu} - w^{\mu} + t p^{\mu} \right) = 0 \end{eqnarray*}

と定めると，局所ローレンツ座標に対応するスピノル等価物を

(19)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle \begin{aligned}\left(X^{\alpha \beta}\right) & := \left(X^{i} \gamma_{i}^{\alpha \beta}\right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}X^{0}+X^{3} & X^{1}+i X^{2} \\ X^{1}-i X^{2} & X^{0}-X^{3}\end{array}\right)\end{aligned}\end{eqnarray*}

と書くことができる（ただし，\gamma_{i}はパウリ行列から生成されるクリフォード代数の生成子＝ディラック行列 \left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\} = 2 \eta_{i j} かつ \left\{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\right\} = 2 g_{\mu \nu}）．これはまた

(20)   \begin{eqnarray*}& \displaystyle \begin{aligned}\left(x^{\alpha \beta}\right) &:= \left( x^{\mu} \gamma_{\mu}^{\alpha \beta}\right) \\ & = \left( x^{\mu} b_{\ \mu}^{i\ } \gamma_{i}^{\alpha \beta}\right) \\ & = \left(X^{i} \gamma_{i}^{\alpha \beta}\right) = \left(X^{\alpha \beta}\right)\end{eqnarray*}

を満たす．つまり，一般の曲がった時空と局所ミンコフスキー時空のそれぞれにおいてスピノル等価物が定義でき，それらを四脚場を介して対応付けることができる．このため，ヌル直線のスピノル等価物は一般座標を用いて

(21)   \begin{eqnarray*} x^{\alpha \beta} - \lambda \omega^{\alpha}\overline{\omega}^{\beta} + t \pi^{\alpha}\overline{\pi}^{\beta} = 0 \end{eqnarray*}

と書くことができる．ヌル直線があらわす光線上の点はすべて方程式

(22)   \begin{eqnarray*} x^{\alpha \beta}\pi_{\beta} = \lambda \omega^{\alpha} \left( \overline{\omega}^{\beta}\pi_{\beta} \right) \end{eqnarray*}

を満たす．更に，この方程式を解くと

(23)   \begin{eqnarray*}& \omega^{\alpha} = i x^{\alpha \beta} \pi_{\beta} & \end{eqnarray*}

となるので，光線上の任意の点（に対応する2-スピノル）x^{\alpha \beta}を指定すると，いつでもそれに対応するスピノル対\left(\omega^{\alpha}, \pi_{\beta} \right)を見出すことができる．このスピノル対のことをツイスターZ^{a} = \left(\omega^{\alpha}, \pi_{\beta} \right)と呼ぶ．

２. ヌルツイスターの幾何

２−１. 質量なし粒子のヘリシティー

各ツイスターZ^{a}にはその複素共役\overline{Z}_{a}が存在し

(24)   \begin{eqnarray*} Z^{a} = \left(\omega^{\alpha}, \pi_{\beta} \right) \mapsto \overline{Z}_{a} = \left(\overline{\pi}_{\alpha}, \overline{\omega}^{\beta} \right) \end{eqnarray*}

とする複素共役写像を考えることができる．このとき2つのツイスターZ^{a} = \left(\omega^{\alpha}, \pi_{\beta} \right)とU^{a} = \left(\lambda^{\alpha}, \mu_{\beta} \right)の間のエルミート内積\Phi\left(Z,U\right)を

(25)   \begin{eqnarray*} \Phi\left(Z,U\right) = Z^{a} \overline{U}_{a} = \omega^{\alpha}\mu_{\alpha} + \pi_{\beta}\overline{\lambda}^{\beta} \end{eqnarray*}

で定義できる．この内積は正定値ではない． 例えば，ヌル直線があらわす光線に対応するツイスターZ^{a}とその複素共役\overline{Z}_{a}のエルミート内積は

(26)   \begin{eqnarray*} 0 = Z^{a} \overline{Z}_{a} = \omega^{\alpha}\overline{\pi}_{\alpha} + \pi_{\beta}\overline{\omega}^{\beta} = 2\mathcal{R}\left( \omega^{\alpha}\overline{\pi}_{\alpha} \right) \end{eqnarray*}

と満たす．\Phi\left(Z,Z\right)=0となるツイスターZ^{a}のことをヌルツイスターと呼ぶ．こうして局所ミンコフスキー時空上の光線（ヌル直線）を指定すると，ツイスター空間上の点（ヌルツイスター）が定まることをみてきたが，その逆も成り立つ．すなわち，与えられたヌルツイスターZ^{a}に対して

(27)   \begin{eqnarray*} x^{\alpha \beta} - \left( \overline{\omega}^{\alpha^{\prime}}\pi_{\alpha^{\prime}} \right)^{-1} \omega^{\alpha}\overline{\omega}^{\beta} + t \pi^{\alpha}\overline{\pi}^{\beta} = 0 \end{eqnarray*}

が成り立つ．

粒子のヘリシティーsは，ツイスターのノルムとしてあらわすことができる．

(28)   \begin{eqnarray*} s = \frac{1}{2} \Phi\left(Z,Z\right) = \frac{1}{2} Z^{a} \overline{Z}_{a} \end{eqnarray*}

コメントを残す